Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVRE II. - CHAP. V.:ow6

qui admet la solution particuliere
= (p - a)(p - a),
quelles que soient les constantes A, a. Nous allons prendre pour
ces conslantes cinq systemes de valeurs de la maniere suivante:
Posons
f(U) = ( Z - a )( - a2)... (u - a).
Les cinq solutions Oi definies par la formule ge6nerale
*o3) Oi ^. l(a/-p( — p i)(i -pa; -- h)
(3I) (i- 1, 2.,..., o)
-'(ai)
satisferont a l'identite
02 0.
6 -... -0 9 -o.
Prenons
Xi -- 01, X2 -- 02, X.3 = O3,
X -- (04-0, - 10 ( ), x
R desinan t une constante quelconque; les cinq solutions xi satisferont a l'identite (28). Les formules (29) nous donneront ici
R 01 R0, 11 03
(32) 0- — 0 O ' —0'
I 3-+ 2y " -- -, y. 0, i0
et definiront une surface rapportee au systmrne de coordonnees
curvilignes forme par les lignes de courbure. On peut d'ailleurs
trouver l'equation de celte surface de la maniere suivante
Les equations (32) nous donnent
01 02 0:3 0 ()o
x: y z x" -+3' -+2 -- - 12 x2 -32 I 2 + - 1\,2
-21. 2Ri
D'ailleurs les fonctions 0i saLisfont encore a l'identite
i —
1ai —]h =;
l= i

en les remplacant par les quantites qui leur sont proportionnelles,