Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTEME ORTHOGONAL FORME PAR LES LIGNES DE COURBURE. o03
venablement choisi (X, Y, Z) de cette droite satisfait aux
equations
ox o y c)z
dX -+ dy dY T — dZ = o,
0x dy O%
x S +, dY dZ = o.
Differentions les equations (22), en tenant compte des precedentes;
nous aurons
I )Ox a d xz dr
Xc- d Y d -- Z d- d = o,
(24)
ax a Oz 7Or
~x -7 Y Y -+ Z - - cd = o.
L'elimination de X, Y, Z entre les formules (22) et (24) nous donnera l'equation differentielle des lignes de courbure sous la forme
d'un determinant
dx dx dx dx
- - (d day Cy d y d dy
(25) 0
dz dz dz dz
- d c d- c —
d- d - dd d,
%r O3r 0%r O)
et les formules (22) et (24) feront connaitre le centre de courbare
principal correspondant a chaque ligne de courbure.
Le resultat precedent peut etre encore presente sous la forme
suivante. Considerons une equation lineaire aux derivees partielles
de la forme
020 020 o0 d00 0
(26) A- +-B -C - A — -- - - = o,
O%2 Oa% O) 2 0%p Oa c
et exprimons qu'elle admet les quatre solutions particulieres x,
y, z, r; nous aurons ainsi quatre equations qui determineront les
rapports mutuels de A, B, C, A', B'. L'equation lineaire pourra