Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. -- CHAP. V.

les equations
clx dc clz
dc dc' de"
qui sont celles d'Olinde Rodrigues, d'ou l'on. aurait elimine le
rayon de courbure R (').
Nous aurons frequemment l'occasion d'employer la representation spherique et nous nous contenterons, pour le moment, des
remarques delmentaires qui precedent. Avant de continuer l'etude
generale des proprietes des lignes de courbure, nous indiquerons
comment on peut former leur equation diff6rentielle dans les cas
tres varies qui peuvent se presenter.
143. Supposons d'abord que la surface soit consideree comme
lieu de points et que les coordonnees rectangulaires x, y, z soient
des fonctions donnees de deux paramLtres c, 3. On pourrait employer l'equation (4); la methode suivante conduit au resultat
d'une maniere plus symetrique.
Les equations de la normale au point (x, y, z) seront
(X-X) +(Y-y2') -(Z-z o'
(X - x) -+(Y - ) Z -- )- =o
0il
dX Y ZdP-dr~
en posant, pour abreger,
(23) r = -y2.
Exprimons quee la normale engendre une surface dveloppable,
c'est-a-dire qu'il existe un deplacement pour lequel un point con

(1) Voir J. BERTRAND, Traite de Calcul differentiel, pp. 665 et 697.