Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTrIEME ORTIIOGONXL FORbIME PAR LES LIGNES DE COURBURE. 201
infiniment petit des plans tangents a la surface en ces deux points.
C'est la une premiere propriete tres importante de la representation spherique: elle permet d'etudier geometriquement la variation du plan tangent.
D'autre part, la tangente mznm de la sphere et la tangente iMM1
de la surface ont evidemment pour conjuguees des droites qui
sont paralleles, puisque les plans tangents aux points correspondants des deux surfaces le sont toujours. Or, dans la sphere, la
conjuguee d'une tangente est perpendiculaire a cette tangente. On
peut done enoncer la proposition suivante:
L'angle des tanzgeltes en nz et en M aux deux coulibes corresponzdantes mmt' et MM' est complementaire de l'angle forSle
par la tangente a la surface avec sa colnjuguee.
Ou autrement:
A tcune tcangente MT de la sur7face cc acnt pour co0njtugteeie MT'
correspond une tan gente mt de la splhere perpendictulaire a
MT'.
Appliquons cette remarque generale aux cas particuliers les
plus interessants.
Supposons d'abord que MT soit une tangente asymptotique:
elle coYncidera avec sa conjuguee IMT et sera, par consequent,
perpendiculaire a son image spherique. On aura done l'equation
diffnrentielle des lignes asynmptotiques en ecrivant que les deplacements correspondants sur la surface et sur la sphere sont perpendiculaires. On est ainsi conduit a lI'cquation
dcx de -4- dy dc' -t dz" = o,
que l'on deduit, en effet, de la premiere des formules (24) [p. i 38]
en y faisant t = i.
Prenons maintenant pour 'MT une tangente principale: MT
sera perpendiculaire a MT' et, par consequent, parallele a mt; et,
reciproquement, si MT est parallele a 7mt, elle sera perpendiculaire a sa conjuguee. Ainsi, les tangentes principales sont caracterisees par la propriete d'etre paralleles a leur representation spherique. En ecrivant les conditions de parallelisme, nous retrouvons