Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

2-00 LIVIIE Ht. - CHAP. V.
dans la the'orie des lignes de courlbure. R de'signe Ie rayon de
courbure principal correspondant "a la ligne conside'ree, ct les
coordonnmies dui centre de courbure correspondant sont de'finies
par los formules (20o).
1J42 On obtient aussi ]es e'quations d'O1inde Rodrigues en faisant usag~e d'uLie notion Lre~s importante qui est due h Gauss, celle
(10 Ia Irep-e'sentationt sphei'lique. En.Visageons une portion quelconque d'utie surface donne'e et atiribuons uin sens aux nDormiales
en totiS les points do cette re'gion en nous attachant 'a satisfaire 'a
la condition que les cosinus directeurs cC c',c de la normnale soient
des fonctions continues des deux parame'Lres qui de'finiSsent le
pied de cette normiale. Construisons main tenant le point dont los
coordonne'es rectangutlaires soniLc, c',I c11;iI appartient evidem-mentL
la sphe're de ray"on i ayan t pour centre l'origine des coordonnees,.et Von voit que nous ktablisson~s point par point une correspondance entre cette sph~re et la surflace donne'e. A Lin point AM
de la surface correspondra Lin point in do la sphere, a uine coui'be
de la surface uine courbe de la sphe're, a une region continue de la
surface uine re'-ion 6-galement continue de la sphe're. Ce mode de
correspondance a reC L le nom cle 7repr-esentation sphe'i-queO oI
d'iinagoe sphcirique do, la surface, et Gauss en a fait usage, nous le
verrons pins tard, pour C'tablir et furm-uler tine des propositions
les plus importantes de la tLheorie qni nous occupe.
Si nous considirons tin point quelconque Nil de la surface et
son image splherique in, i Tste dente deIniion quelepa
tangent 'a la s urface au point Nl Cst para~llele an plan tangent de la
spbe're eu in; los normales aux deux surfaces souL paralid'es, et,
on. ce qui regarde leurs sons, on voul qu'au sens positif do la iiormale 'a la surface correspond celnii do Ia nortmale exte'rioure 'a la
sphe're.
Imag~inons que le point Al se de'place 'a partir de sa position ii
hale stir la surface et de'crive Lin C'mntd oub INNJ le Poin
li qui IL1i sort d'image so de'placera 'a partir de lin et de'crira un
dMenent de courbe min'. Cherchons la relation entre ces deux Me6 -nients correspondants.
11 est 6vident d'abord que l'are mml' mesure en grandeur l'anglo
dos nornmales en NJ et NJ' on, ce qui est la m1, me cbose, l'angle