Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTEME ORTHOGONAL FORIE PAR LES LIGNES DE COURBURE. 199
distances a l'axe des x et a l'axe desy, c'est-a-dire a deux droites
rectangulaires qui se coupent, soit constante.
Si l'on prenait
= - n = p = 1,
les equations des trois families prendraient la forme
_ _ 3 3
39) 3 33 /c' = (X2 t Wy2 _+. W2 Z2)9 -2(X2 +0 c2y _ 7 Cu2)2,
(19) _ _ 3
1 ~~~~~3 3
3/3/u =(x2 + y2 + ~j22)2 _(x2 co2y2 coZ2)9-2,
o designant une racine cubique imaginaire de l'unite. Ce resultat
est diu a M. Cayley.
141. Revenons ' la theorie generale. Les formules (2) prennent
une forme particulierement remarquable si l'on suppose que it,
v, w, au lieu d'etre simplement proportionnels aux cosinus directeurs de la normale, soient egaux a ces cosinus que nous appellerons c, c', c". Alors les formules (t) prendront la forme
(20) X = x 4-cR, Y =y - c'R, Z = z - c"R,
et definiront un point de la normale situe a la distance R du pied
de cette normale; cette distance R aura d'ailleurs un signe, elle
devra etre portee dans le sens defini par les cosinus c, c', c", si
elle est positive, et en sens contraire si elle est negative. Les formules (2) nous donneront les suivantes:
dx -R- Rc d l -4- R de' cdz - R dc"
c c' C"
Ajoutons les numerateurs et les denorninateurs apres les avoir
multiplies respectivement par c, c', c', nous trouverons, en tenant
compte de l'equation evidente
c dx -r c' dy + c" dz = o,
que la valeur commune de ces rapports est egale a zero.
On peut done ecrire les formules suivantes:
(21) dx -t- R dc = o, dy -- R dc' = o, dz 4- R dc" = o,

qui sont dues a Olinde Rodrigues et qui jouent un role essentiel