Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU DEPLACEMENT A UN PARAMETRE.

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La condition necessaire et suffisante pour que le mouvement du
systeme se reduise a une simple rotation est done la suivante
Sp A- q +- r - o,
et, dans ce cas, l'axe de rotation est represente par les trois equations
~ qz 1-y = o,
(q, -- r+x-pz = o,. — py- qx o,
qui caracterisent en effet les points dont la vitesse est nulle, commic
le montrent les formules (io).
4. Pour indiquer des a present une application des propositions
precedentes, considerons une courbe gauche quelconque et etudions le mouvement du triedre (T) forme par la tangente que nous
prendrons pour axe des x, la normale principale que nous prendrons pour axe des y, en la supposant, par exemple, dirigee vers
le centre de courbure, et la binormale qui sera l'axe des z et dont
le sens est defini par les conventions deja faites.
Prenons l'are s comme variable independante ou, ce qui est la
inme chose, supposons
ds
-I.
dt
On a ici
=, 1 o, '- =0, O = o,
et, si x, y, z ddsignent les coordonnees du point de la courle,
qui est le sommet du triedre, par rapport a des axes fixes,
cl, dy. dz
a - a = - a = -
ds ds cls
Les formules generales (4) nous donnent
(12) da (br -cq)ds, db = (cp - ar) s, dc = (aq — bp)ds.
Exprimons que la binormale, dont les cosinus directeurs sont c,
c', c", est perpendiculaire au plan osculateur, c'est-a-dire aux deux
droites dont les cosinus directeurs sont a, a', a' et a + da,
a' -- cia', a"+ da'. L'une des equations sera satisfaite d'elle-meme