Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DU SYSTEME ORTIIOGONAL FORMIE PAR LES LIGNES DE COURBURE. 195
les equations d'une ligne droite. On pourra joindre a ces equations
la suivante
5'~) tay -- b - - c' = o,
pourvu que c' soit determine par l'equation
(6) aa' - bb' - cc'= o.
Les equations (5), (5') representent les projections de la droite
sur les trois plans coordonnes. Cette droite est parfaitement determinee quand on connait les six quantites a, a', b, b', c, c'
nous dirons que ces six quantites, qui doivent toujours satisfaire
a la condition (6), sont les coordonnees homogenes de la ligne
droite.
Supposons que ces six coordonnees soient des fonctions donnees
d'un parametre; la droite engendrera une surface reglee. Pour
que cette surface soit developpable, il faudra qu'il existe une
courbe tangente a toutes les positions de la droite; en d'autres
termes, il faudra que l'on puisse determiner ]es coordonnees x, y, z
d'un point variable verifiant les equations de la droite et satisfaisant aux conditions
dXr cldl dz
a b c
Si l'on difftrentie les equations (5) et (') en tenant compte des
relations precedentes, on trouvera que les coordonnees x, y, z
doivent verifier les trois equations
Iz db -y dc + — da' o,
(7) x dc - z dac -A db' -= o,
y da - db- d' -=o,
qui ne contiennent pas dx, cly, clz. Si on les ajoute apres les avoir
multiplides respectivement par da, db, dc, on obtient la condition
(8) da da' — c db db' 4 — dc dc' = o,
a laquelle doivent satisfaire ]es diff6rentielles des coordonnees.
On demontrera aisement que cette condition, qui est necessaire,
est aussi suffisante; et, quand elle sera remplie, les formules (5)
et (7) feront connaitre, pour chaque valeur de la variable inde