Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

REPRESENTATION CONFORME DES AIRES PLANE.ES.

(JI

Comme les arguments des fonctions r qui figurent dans la formule precedente sont tous superieurs a - i, ces fonctions auront
le meme signe que les variables dont elles dependent. On reconnait
ainsi que la puissance t2 sera negative, si l'on a
V I > X -- I'J,, -T I >.- +,
c'cst-a-dire si les angles du triangle OAB satisfont a toutes les
relations d'inegalite qui existent entre les angles d'un triangle
sph6rique. Au contraire,la puissance t2 serapositive si les inegalites
precedentes ne sont pas toutes verifiees. Ce resultat est bien conforme a celui que donne la Geometrie: pour qu'un triangle forme
par trois arcs de cercle soil la projection stereographique d'un
triangle spherique, il faut et il sutfit, comme on sail, que le cercle
orthogonal aux trois cotes du triangle soit imaginaire.
Si, au lieu de la variable Z definie par la formule (40), nous
avions choisi la suivante
aZ-i- b
cZ -- - d
a, b, c, c ddsignant des constantes quelconques, nous aurions
obtenu, au lieu du triangle OAB, un triangle avant les memes
angles, mais dont les cotes auraient ete, en general, des arcs dc
cercle; car il se deduit du triangle OAB par une transformation
circulaire quelconque.
Supposons que les angles ),,., v satisfassent aux relations d'inegalite (42) et prenons pour le module de C la valeur
v/-C r(, -- ),)
(t= - )'.3) x / r
( )( )t ir(
t2 deviendra egal a - I et les trois cotes du triangle OAB seront
orthogonaux au cercle de rayon i ayant l'origine pour centre. On
sail que, dans ce cas, les trois cotes peuvent etre consideres