Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. IV.

et de plus le developpement suivant les puissances positives de
i -2
devra commencer par le terme - -* Cette condition determine
2 Z2
a, at2, et l'on trouve
33 I, I T -' I T-, I T T-) -J 2 '- 2
(33) Z, s - - z2 (I- - - '
I Z 2 (- z(I-)
Or, si l'on considere l'equation
(3'- di 0 10
(34) -(I -) -[T-(X+ I)) z - =O
qui definit la serie hyperg'ometrique de Gauss, on reconnalt aisement, en appliquant la formule (3o), que le rapport de ses deux
integrales satisfait a l'equation (33) si l'on prend
(35) ),2 (-), I - ^-, )2- )2.
On pourra done exprimer Z par le quotient de deux integrales
particulieres de l'equation (34). Ces integrales sont bien connues;
on peut determiner les variations qu'elles eprouvent quand on suit
un chemin quelconque du plan (') et l'on verifie qu'elles fournissent effectivement la representation cherchee.
Parmi les quatre systemes de valeurs de a, 3, y determines par
les equations (35), choisissons le suivant, par exemple
(36) p-, =,-)._-, ),
L'equaLion differentielle (34) admet plusieurs solutions particulieres, parmi lesquelles nous distiiguerons les suivantes
0- F(x, y, ),
\0 z1-Y~F(a + i — ^, ~ + I --, 2 --, z),
03 = F(C, I, + - r - -, I - ),
04 = ( )Y-) —P F(y -x, I - - - i C - P, I - Z),
(1) KI(UMER, Ueber die hypergeometrische Reihe (Journal de Crelle, t. XV,
I836).
GOURSAT (E.), Sur l'equation cdife'rentielle linealre qui admet pour integrale
la serie hypergeometrique (Annales de l'Ecole Normale, 2" s6rie, Suppl6ment
au t. X; I881).