Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

REPRESENTATION CONFORME DES AIRES PIANES. 185
et, par suite, la connaissance d'une seule solution particuliere Z,
de l'equation (27) entrainera celle de l'integrale generale, qui sera
donnee par la formule precedente, oi les constantes a, b, c, d
pourront recevoir des valeurs quelconques. Cette propriete si
remarquable de l'equation (27) la rapproche des equations lineaires
et, effectivement, il est aise de montrer que l'integration de cette
equation peut etre ramenee a celle d'une equation lineaire du
second ordre.
Considerons en efiet une equation lineaire du second ordre
(28) (120 dO
(aS ) Cd Izd 2 P /, O,
ou p et q sont des fonctions donnees de z, et cherchons l'dquation
differentielle a laquelle satisfait le rapport
(29) z= 02
de deux integrales particulieres. On trouvera, par un calcul facile,
(3o) S i = 2q p - dp
L'equation ainsi obtenue est de mnme forme que la proposee (27).
II suffira de choisirp arbitrairement, de determiner q par la relation
(3j 2q p-P- = d F(z),
dp,
et l'integration de l'equation (27) sera ramennee a celle de Ie'quation lineaire (28). Si l'on prenait, par exemple, p o, l'equation
lineaire se reduirait a la suivante:
(32) d F(z) = o.
Au reste, on s'explique qu'une certaine indetermination puisse
subsister relativement a l'equation lineaire, puisque le rapport de
deux integrales particulieres ne change pas quand on les multiplie
l'une et l'autre par une m&me fonction donnee, mais quelconque,
dez.
L'equation (32), ainsi que toutes celles que l'on obtiendrait en