Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

REPRESENTATION CONFORMIE DES AIRES PLANES. i83
Un. cal cul facile donne alors
3o, Pour le point du contour correspondant "a la valeur oo de z,
on trouve de me'me
Si le point n'est pas un sominet et Si l'on emploie la valeur de 1'
correspondante au de'veloppement (ip). Si, au contraire, le point
est uin sommet, il faut mettre pour T la valeur + p (i), ce qui
donn e
I ~2 It /k
zz
2,Z2 ~ 3 Z4
Rernarquons d'une nianiere generale que, pour tous ces developpernents, les coefficients sont, tons re'els. La fonction ~Z,- est
donc r~e'ele pour toutes les Avaleurs re'elles de z; clle pourra e'tre
prolonge'e analytiquemnentL d'apre~s la me'thode du no 130 et sera,
par suite, de'finie dans toute e'~tendue du plan.
dZ
40 Enfin, pour un point "a 1'inte'rieur de (A), la de'rive'e d ne
sera jarnais nulle et ~Z, z Isera, comme z, une fonction developpable pour toutes les vale urs de z.
La fonction z, z ayant toutes, les, proprie'tes d'une fraction rationnelle pour les valeturs finies de z, et devenant infiniment petite
pour zinfini, sera une fraction rationnelle. Soient a,, a2,., al1
les valeurs de z qui correspondent aux sommets du contour, a,7,
2r.2 Th *.. 21- les angles correspondants formes par deux C0 tes
cons cutis SIlona pour z a,
'2(z - a)2 z z-ai
Ia fonction
demneurant finie pour toutes les valeurs finies de z et devenant
infiniment petite pour z infini, sera ne'cessairement e'oal e "a zero;