Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

i8o

LIVRE II. - CHAP. IV.

Dans le cas du triangle, dont la forme est determinee par la
valeur des angles, la solution est evidente. En faisant varier la
constante H, on obtiendra tousles triangles semblables 'a un
triangle donne et l'on pourra determiner cette constante de maniere a obtenir l'un quelconqne de ces triangles.
Si le polygone est un rectangle, on aura
cc=?- = 8 = -.;
Z deviendra une integrale elliptique que l'on pourra supposer ramenee a la forme normale
(i5) Z = H _ kd —)
(I ) Z=H~do (L - Z2)( /'2 Z2)
Les cotes du rectangle seront
a =2IK, b _ HK',
K et K' designant les integrales completes qui entrent dans la
formation des periodes; par consequent, si l'on pose
7-ti' 7 >n c1
q = e e e,
le module sera defini par l'equation, = 4 / [(r ) q( + ( + q).. 1
( - ~ q) i + q; 6 ( ).
qui donnera ainsi, dans ce cas particulier, la solution complete du
pro)lelm e.
133. Passons maintenant a l'examen du cas ou le contour est
compose d'arcs de cercles; nous supposerons, pour plus de nettete, que deux cercles consecutifs ne soient jamais tangents.
Comnme on peut toujours, au moyen de la transformation circulaire (n~ 124) definie par la formule
\aZ, -+ b
(I6() Z = a
cZ -t- d
transformer en une ligne droite un quelconque des cercles qui
composent le contour, et meme deux cercles consecutifs de ce