Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

i-6 ~~~LIVRE II. - CHAP. IV.
et comme ai des valeurs r6elles de.1- doivent correspondre des
valeurs re'elles de Z, les coefficients a, b, c seront tons re'els. Si, de
plus, iA arrive, comme dans. les exemples que nous allons traiter,
que IZ, conside'ree comme fouction de Z doive satisfaire aux Memes
conditions que Z conside'ree comme fonction de z, I equation
pr c'dente, re'solue par rapport "a - zdvaoonrun ~i
ordonne'e par rapport aux puissances entie~res de Z - Z0, et, par
consequent, le coefficient a sera toujours diff~rent de zero.
131. Cc lemme pre'iminaire e'tant ktabli, conside'rons d'abord
une aire (A) limite'e par des lignes droites (L,),..., (L11). Soit
Z0, l'affixe d'un point situe6 sur une des lignes (L) et soit h-,,
lFangle de cette ligne avec lFaxc reel. Conside'rons la fonction
(Z - Z0 ) eillfc.
Pour un point Z situ' "a 1'inte'ricur dii contour, elle aura lcs
Mmems propri' t's que la fonction Z. Si ic point Z se trouve sur la
ligne (L) dans le voisinage de Z,, dile sera re'ellc, et changera de
signe quand Z passera par la valcur ZO. 11 suit de lai que l'on pent
appliquer lc lemme de'montre' an numero precedent et, poser
(31) e-ihx (Z 2ZO) =(Z -ZO)p (Z -ZO),
le sybole (Z - Z,,) de'signant une serie, ordonn'e suivant leS
puLissances positives et entie~res de z- z0,, dont tons les coefficients seront r~els, le premier d'entre eux 6'tant diff~rent de zero.
1]tudions maintenant la fonction Z dans le voisinage de la valeur Z, qui correspond anL pointL de rencontre de deux droites coinsecutives (LA), (LA-+,) (fig. 9) faisant entre clles lFanglc
Conside'rons la fonction Z0 - Z;son argument, u s l'angle de
la droite ZZo (fig. 9) avec lFaxe reel, vanie entre les deux limites
quand le point Z se de'place dans l'inte'rieur de l'airc et se dirige
de (Lk) vers (LA,+ ). Ii suit de lai que la fonction
[(Z0 - Z) ei7tltk]X

scra reelle et positive sur le co8tLe (LA), re'elle et n'gative sur le cOAtLe