Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

174 LIVRE II. - CHAP. IV.
venons e'noncer, elle fournira. une representation conformne de
(A) suir une aire (A'), 'a connexion simple coinme la premiere,
mais qui pourra, dans certaines parties, recouvrir plus d'une fois
le plan si la fonction 71 prend plusieurs fois lesM mimes -valeurs 'a
linte'rieur de (A) (voirfig. 7).
Apre's avoir indique' les, conditions auxquelles doit satisfaire la
fonction Z, nous allons exposer comment M. Schwvarz a donne' les.
moyens de determiner cette fonction dans le cas oii l'aire (A) est
limite'e par des droites on par des arcs de cercie.
130. Voici le principe analytique stir lequel repose la solution (I').
Conside'rons, une fonction 7Z de z de'finie seulement pour la
partie supe'rieure du plan et satisfaisant d'ailleurs "a tonutes les conditLions e'nume'rees dans le nunme'ro prectedent. Si la fonction est
reelle pour toutes les valeurs r'elles de z voisines d'une valeur
reelte z,, cite sera de'veloppable dans le voisinage de zo en une
serie ordonne'e suivant, les puissances entieres et positives de eL
les coefficients de cette se'rie seront tous re'els.
Conside'rons, en effet (fig. 8), uine aire (U) limite'e par le conFi g. S.
D
(U)
A ________________B
(U')
C
tour A,,0,BD, comprise tout entie're dans la partie supe'rieure du
plan, et soit (U') 1'aire syme'trique de la premiere par rapport 'a
l'axe des x. La fonction 71 n'est connue, par hypothese, que pour
la partie supe'rieure du plan. Mais on pent la de'finir aussi pour la
partie inf~rieure en convenant qu'a' deux vale urs imaginaires con

(1) Ce principe a k6t6 noflC eL d6montr6 par M. Schwarz clans on article d j"i
cite (Journal de Crelle, t. LXX, p. 107). 11 a 6t6 aussi employs par Riemann
dans le M~moire stir Ies surfaces minima ( GesaMmnelte Werke, P. 297 ).