Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

F72 LIVIRE II. - CHAP. IV.
oho a, b, c, d sont des constantes re'elles. Soient z0, et Z0, les variables imaginaires COnjUgulees de Z. et de Z, on aura
zo=azo -v b
c Z~l0 4 —d
epar cons~qen
_(ad - bc) (z -zo).
Z -Z0 (czdc) (czo — d)'
si le determinant ad - be est positif, la transformation, qui fait,
correspondre aux valeurs re'elles de z des valeurs re'elles de Zi,
fera aussi correspondre aux valeurs de, z, dont la partie imaginaire
est positive, des Vraleurs de Z jouissant de la me'me proprie'te; en
d'autres termes, elle cons tituera une repre'sentLation conforme de la
region (K) suir elle-me~me. On de'montrera aise'ment, soiL par 1'Analyse, soiL par la Ge'ome'trie, qu'il est touj ours possible de trouver
une transformation de ce genre faisant correspondre trois points
donne's de l'axe des x "a trois autres points e'galement donne's du
Meme axe, ou faisant correspondre un point donne' quelconque
dans l'inte'rieur de (K) "a un autre point e'galement donne' dans
i'inte'rietir et, de plus, un point de l'axe des x "a un autre point
pris sur le me'me axe.
Si l'on admet, comme il est possible de le de'montrer, que la
transformation de'finie par la formule (I) est la plus generate de
celles qui re'alisent la representation conforme de la region (K)
sur etle-me'me, on voit, que le proble'~me de JRiemann peut etre
ramene au suivant qui devient parfaitement determine'
Eytant donne'e une aire (A) a" connex ion simple, la reprdsen ter d'un7e manie're conforme sur la par-tie superieure (K)
chiaplan, de -telle rnanie're qut'a trois points pris stir le contour
de l'aire (A) correspondent trois points donne's de l'axe des x.
129. De'signons par
Z - f (Z)
La fonction de l'argument complexe qui donnera la solution du
proble~me. Nous allons e'nume'rer les conditions auxqueiles elle est
assuijettie
io Elle doit eftre uniforme et continue pour toutes les valeurs