Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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170 ~~~LIVRE 11, - CHAP. IV.

CHIAPITRE JYV.
IIEPRt1~SENTATIO0N COINFORAME DES AIRES PLAINES.
Inonc6 du probl~me. - Principe analytique sur lequel repose la solution. - Repr6sentation conforme sur la r~gion du plan sitn~c ani-dessus de laxe r6el d'une
aire plane ~ connexiorn simple limit~e par des fignes droites ou, par des arcs dc,
cercle. - A16thode de Al. Schwarz. - Application au triangle plan limnit6 par
trois arcs de cercle et au triangle sph~ricque.
128. Nous avons reconnu, dans le Chapitre precedent, q ue 'o n
peut faire correspondre "a toute fonction Z — f(z) de, la variable
complexe zune me'thode de tranlsformation avec simibitude directe
des elements infinimnent petits et nous avons expose' les proprifte's
les plus e'lementaires des transformations en nombre illimite6 que
l'on pent ainsi obtenir. Nous nous proposons main-tenant d'e6tudier, dans un cas assez e'tendu, la solution du proble'me suivant
Ektant don nees deux air-es planes (A), (A,), de'ternminer Ia
onction Z -f(z) qui permet d'efetrun re snaio
conjor7Me de l'1une des air-es sur l'autre, de telle mnan ie'7e qu'a&
an point, pris clans l'interieur de l'une quelconque des deuix
aires, COrresponde un seul point pris dans l'inte7leier de
l'autre, et qu'aux points pris sur le contour de l'un-e des air-es
corr7espo0ndent les points pris sur7 le contour de l'autre.
L'exarnen de cette belle question prise dans son e'nonce' le plus
g~~al se rattache at la solution des probl'mes les plus importants
de l'Analvse et de la Physique mathe'matique. Dans l'article 21
de ()sa Dissertation inautgurale, Riemann a montre' qu'il est
toujours possible de la re'soudre. La demonstration de Riemann
5'appuie sur un postulatumn auquel l'illustre ge'ometre a donne' le

(1) RIEMIANN, Gesainmelte inathematische Werke, p. 39.