Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. I.

rroute la difficult6' se re'duit donc "a l'intelgration de ce syste~me.
L'etude detailhee de cette integration fera l'objeL du Chapitre suivant. Pour le moment nous lions conteuterons de signaler les proprit's suivantes du syst~me (8).
D'abord, par suite de sa forme line'aire, il admettra toujours une
solution, et une seule, pour laquelle les valeurs initiales de oa, 3y
seront donnees.
En second lieu, Si 0C, 73 y c, d3 ' dsignent deux syst~nmes de
solutions quelconques, les expressions
U2~__ 2 ~y_ 2, y '+ 3~31yy', a'2~~2y'
seront des constantes. On le reconnait aise'ment en les diff6rentiant
et tenant compte des equations (8).
Ces proprie'tes vont nous permettre d'6tablir qu'il y a toujours,
quelles que soient les expressions de p, q, r- en fonction dui temps,
Line infinite' de mouvements dans lesquels ces trois quantite's souL
les composantes de la rotation relativement aux axes mobiles.
Conside'rons en effet un trie~dre trirectangle (TO), de meone Sens
que le Lrie~dre OXYZ, forme' par les axes fixes et soient a0, bo,
C, les cosinus, directeurs de OX, GY, OZ par rapport aux
axes de (T0). De'terminons les trois systemes de solutions des
equations (8), a, b, c; a', b/, c'; a", bi", c, qUi correspondent
respectivement aux valeurs initiales suivantes a0, bo, co; a'0, b'0
C'0 a" bl c 0.
Les fonctions, telles que
a2- - b2 _~_c 2, aa' -+ — bb'-+-~cc',..
ayant pour valeur initialei on o, et devant rester constantes
d'apre~s les proprie'tes du syste'me (8), ne cesseront pas de conserver leurs valeurs initiales; par conseqnent, les neuf quantite's
ata af,... seront 'a chaque instant les cosinus directeurs de
trois droites rectangulaires formant un trie~dre mobile (T) dont la
position initiale sera (T0). Comme cette position initiale pent e'tre
choisie 'a volonte', on voit qu'il existe une infinite' de mouvements
pour lesquels p, q, r sont des fonactions donne'es du temps.
Tous ces mouvements, qui dependent de trois constantes arbitraires, se re'duisent an fond "a un seul, mais qui serait rapport' 'a
des axes fixes diff~rents,