Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES SYSTEM~ES ORTHO0GONAUJX ET ISOTHERMES. i16 -La double equation obtenue pour chaque farnille miet en 6videuce une belle proprie'te des ovales donnee par M. Chasles dans
l'Aper-cu his1torique, p. 352.
L'equation diff~rentielle commnune aux deux families d'ovaies
est e'videmmenL
Elle conduit 'a une construction ge'ome'trique tre~s simple des
tangentes aux de-Lx ovales qui passent en un point M dui plan.
L'angle de l'une de ces tangentes avec l'axe focal sera la moitie' de
la somme des angles que font, avec cet axe, les trois rayons vecteurs menes dui point MI aux trois foyers. Cette somme nXe'tant d6'finie qu'a un multiple pre~s de ila construction donnera bien deux
tangentes rectanguilaires.
127. Une famille de courbes isotherines e6tant de'finie par Line
equation de la forme A)- Z)
le parame"tre 7. de cette famille satisfait 'a le'quation acx de'rive'es
partielles
(33) =0
et, re'ciproquement, toute fonction), verifiant cette equation donne
une famille isothierm~e. Cette remarque permet de traiter la
qJuestion suivante
Proposons-nous de determiner toutes les familles isothermes
composees de cercies. L'e6quation d'Lin cerele e6crite avec les
variables z, z' a la forine
et lPon obtLiendra la famille de cercles la plus generale en prenantu
pour a, b, c des fonctions arbitraires d'un parame'Lre ),. Si l'on
exige que cette familte soit isotherme, il faudra que la fonction
A. satisfasse 'a 1'e'quation (33). On est ainsi conduit, par -i
calcul facile, "a le'quation de condition
(35) (a - c)(ca'z -v-bI'z$ ~c') -(ab' ~ hba'- c')(a'z- ~ b'z' ~ c')=o