Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

i-64 LIYRE 11. - CHAP. 111.
dule et d'e'gal argument, relatives 'a la foncLion
Z2 -C2.
'126. Conside'rons maintenant I'inte'grale
fdz
out c de'signe une constante re'elle et positive, etcecosl ys
teme orthogonal et isotherme forme' par les courbes sur lesquelles
la partie re'elle ou la partie imaginaire de cette fonction demeure
constante.
Posons
(27) z =c Cos (I ), VC2 -Z2 zc sin (a ~i);
I'integrale aura pour valeur a + f3 i et les deux families du syste~me
isotherme seront de'finies par les equations
- =const., 3 coflst.
Soient F, F' les points du plan ayant pour affixes c et -c; M
de'signant le point dont I'affixe est 2, on aura
(28) - c = FM ei )Fx~ z c =-c F'M e i 'x
et par consequent
FM= r =mod(z -c) =c mod[cos(,% i) - i1 c [cos Pi-cosoc],
F'M = r'z= mod(z -+- c) =c mod[cos(c'-~ r~)i] c [cos i —Cosa(I;
on de'duit de ces equations
r -1 — 7"r 2 C COSf3,
7 - 7' 2C COS I.
On voit que les courbes de la famille (~3) sont des ellipses admettant pour foyers F, F'; les courbes de la famille (ce) sont les
hyperboles homofocales.
D'autre part, si nous employons, avec M. Weierstrass, le symbole A~ pour indiquer la partie r~e'ee d'une fonction, e'6quation