Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

162 ~~~~LIVRE II. - CHAP. 111.
qui. se rattache aux formules (-21); et elle appartient par consequent,
comme 1'indicjue le flomf d'inveersion Sons lequel elle est souvent
designiee, au groupe general des representations conformes qui
chan gent le sens de rotation des angles et des parcours.
La transformation de'finie par la formule
Z=az ~i b
OuI a, b, c, d sont des constantes, se rapproche de lFinversion en
ce qu'elle faiL correspondre Lin cercie 'a un cercie; mais elle s'en
distmo'uie en ce qu'elle conserve les sens de rotation des angles et
des parcours, c'est-a'-dire assure la similitude directe des elements
Infinimient petits. Cette -transformation joue un ro'le im-fportant
dans les recherches relatives "a la theiorie moderne des fonctions.
Pour la distinguer de l'inversion, nous liii donnerons dans le
Chapitre suivant le nom de transfor-mation cir-culaire. Elle se
ramene d'ail-leurs 'a celle qui est de'finie par la formule (26) pre&cWde et suivie d'une translation; elle peut auss tre rempa~
par des inversions en nomibre pair.
Le the'ore'ne general que nous avons e'nonce' pent prendre une
forme nouvelle trebs importante. Supposons qu'on l'applique non
plus 'a f (z), mnais "a logj (z). La parti-e re'elle de ce logarithime est
le logarithme dii module de j (z) et la partie imaginaire largument de J (z). On obtient done cette nouivelle proposition
Etant clonnee uine jonction quelconque de la variable cornplexe z, les courbes cl'egal module et d'eg-al argumttzent de cette
fonICtion for-men tiun systeine orthog"onal et iso therine.
120'. Les syste'mes orthogonaux et isothermes de'finis par les
deux the'ore~mes qui precedent jouent en Physique mathiematique
Lnro"le tre's important. J'Iindiquerai les applications suivantes.
Soient AA et M deux points, qui correspondent aux valeurs aA et
1zde la -variable complexe. On a
z- al 8ik eiOk,,,pA de'signant la longueur du segment AI~M et OA~ langle que fait cc
segment avec l'axe des x. De mneme, pour un point BA corres