Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - ClJXP- Ill.

Nous savons de'jat que les deux modes de transformation de'finis
par les formules (20) on (2 I) conservent les angles et, assurent la
similitude des elements infiniment, petits correspondants. Mais il
y a ici uine distinction essentielle "a faire entre les deux syste~mes de
formule s.
Supposons que le point m de'crive une certaine courbe; soit, ds
la diff-6renutielle de l'arc de cette courbe et wo langle de sa. tangentLe
avec l'axe des x. Les formuies
dx =ds cos w, dy ds sinw
nous donnent,
(22) ~~~clz =ciseiw, clz'~ d e -liw.
De'signons de Meme par dS et 0, les quantite's analogues relatives
t"I la courbe de'crite par le point; M(X, Y). On aura 6'galement
Reportons-nous maintenant, aux formules dui. premier systeame (20). Elles donnent
d'oii l'on de'duiL, en multipliant,
(24) d~~~~CS2 =f '(z) f (z') dV2,
et en divisant
(25) ~~~~~~e2iQ 1(z)e W
Done, si l'on considere deux points correspoiidants mn, M des
deux figures, les tangentes en ces points 'a deux courbes correspondantes quelconques font entre elles un angle constant,; par
suite, a deux courbes de la premi" re figure se croisant, en in correspondront. deux courbes de la seconde se croisant, en M et, y faisant
un angle, non seutlement e'gal "a celiii des deux premieres courbes,
masayant, aussi le me'me sens de rotation. SI le point de la prerniere figure de'crit, nue petite courbe ferinee autour du point, in,
le point, correspondant de la seconde figure de'cri-raausun
courbe fermee autour de M et, de plus, les deux courbes correspondantes seront, parcourues dans le mn eme sens.