Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. III.

leur?, de ) comprise entre b et c, et la troisieme un hyperboloide
a deux nappes correspondant a une valeur p de X comprise entre
a et b. Par consequent, p, pI, p2 constituent un systeme de coordonnees curvilignes, les coordonnees elliptiques de Lame, propre
'a definir tout point de I'espace. On sait que ce systeme est orthogonal; l'expression de l'element lineaire est la suivante:
i cls= 4 L if () ~ do2
(i)+ (,i —2)(21-2) 1 2 (2 -) (2) 2 ) o2l2
f (pi) di f (02) 2j7
oui 1'on a pose, pour abreger,
f(p)= (a- p)(b- p)(c-).
En y faisant p2- o, on retrouverait la formule ( 5).
Le plan z =o correspondrait ta 'hypothese p2 c.
D'apres cela, considerons l'un quelconque des ellipsoides du
systeme orthogonal et faisons correspondre a tun point quelconque
(p, pi) de cet ellipsoide le point du plan des xy qui a pour coordonnees elliptiques p', p'~ les quantites definies par les deux equations suivantes:
do' VP -- p 2 cld
J /(a - )' b) /(a - p)(b - p)(c- )j
r91_ ds1 p* \ /p -p1 d9
j./(a -p)(b —p') J^ \/(a-pl)(b-pl )(pl-c)
I1 resulte de la formule (i8) que les elements lineaires des deux
surfaces sont proportionnels; ds, ds' designant les arcs correspondants sur l'ellipsoide et sur le plan, on aura
Cls2 P_ - pi
ds'i 'La correspondance etablie donne done un nouveau trace geographique de l'ellipsoide sur le plan, trace que l'on peut caracteriser
en remarquant que, si l'ellipsoide s'aplatit en demeurant constammenthomofocal a lui-meme,'la region representee vient, a la limite,
se confondre avec la carte elle-merme.