Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES SYSTEMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES.

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Posons
V- -d V d_ = dc3S
/(a- p)(b-p)(c —p) \/(-p)(b-pj)(c-j)
et la formule (i5) deviendra
(I6) zs2" = ' P - ' (dr2c + dl2 ).
(1i6) ds^ ^ — pl(24
On a done un systeme orthogonal et isotherme; son emploi
permettra de faire la carte de toute region tracee sur la surface du
second degrd (').
Il resulte du calcul precedent que les surfaces du second degre
sont divisibles en carres infiniment petits par leurs lignes de courbure. Cette propriete appartient aussi, nous l'avons deja vu, aux
surfaces de revolution.
Remarquons encore une propriete essentielle de l'dlement lineaire des surfaces du second degre. Dans la formule (I6), p est
une fonction de a, p, est une fonction de 3. L'element lineaire
appartient done au type suivant
(17) ls=- [/(a)-F(,3)](dx2+ -cl3),
qui se presentera, sous sa forme la plus generale, dans la theorie
des lignes geodesiques.
122. La theorie des surfaces homofocales du second degre conduit a. un moyen plus elegant que le precedent d'effectuer le trace
geographique d'une surface du second degre.
Soit
X2 )t2 Z2
- --- - + I = o (a > b > c > o)
a- A b --- c -)
l'equation d'un systeme de surfaces homofocales. 11 passera trois
surfaces du systeme par un point quelconque de l'espace; l'une
sera un ellipsoide correspondant "a une valeur,2 de ) inferieure
a c, 'autre un hyperboloide a une nappe correspondant a une va

(') On pourra lire, au sujet de cette repr6sentation, le Memoire de Jacobi,
Ueber die Abbildung eiines unlgleichaxigen Ellipsoids auf einer Ebene, bei
(welcher die klei7zsten Theile dhnlich bleiben (Journal de Crelle, t. LIX, p. 71; I86i).