Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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i54 ~~~~LIVIIE 1I. - CHAP. Ill.

ia.deux triangles r'ectilig'nes et, comme uls seront e'quiangles, leurs
cUts hornologues seront proportionnels. Re'ciproquement, Si du
surfaces se correspondent point par point, de telle manie~re que,
leurs 6lemnents line'aires soient lie's par la relation
dS2 =)X2 ds'2,
et Si l'on conside~re sur -une d'elles une region assez petite pour
que l'on puisse y faire abstraction de la variation de I~, les lignes
correspondantes trace'es snr les deux surfaces seront dans un
rapport constant; par consequent deux triangles correspondants
infiniment petits seront semblables, et les angles se conserveront
quand. on passera d'une surface "a l'autre.
On peut e'tablir ceate proposition d'une manie~re -plus rigourenuse,
en cherchiant l'angle de deux courbes trace'es sur une surface quelconque. S-upposons ciue lon se de'place "a partir d'un point de la
surface dans deux directions diff6rentes et de'signons par les caracte'ristiques d, ~ les diff~rentielles relatives 'a ces deux de'placements. Soit
dS2 =E dU2+ 2F di dv -~- G dV2
l'expression de ele'6ment line'aire. Les formules
ox Ox Ox, Ox.7
-ciad -~ dv, ~x= -- Oa 01',
nous donneront
epar consequent, l'angle V des deux directions sera determine'
par la formule
(Io) Cos V z E da i — F (da o+-dv 8 ) — G dvof
v'E d2 -+_ 2 F cia dv' ~~ G dip 2An ui2 -+ 2 F 8a up ~ G a V2
On voit qu'il depend seuleruent des rapports de E, F, G et
demeure le me'me quand Fl'le'ment line'aire tout entier est mulitiplie, par une fonction quelconque de it et de v.
120. Comme ld'~Iment line'aire du plan est reduciible "a la forme
ds2 = da2~- do-),