Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES SYSTEM3ES OIITIIOGONAUX ET ISOTHERTMES. 5

i 5 i

Nous aurons souvent "a employer le syst~me des variables oc,
qui ont recu le nom. de coordonne'es symetriques. Dans le cas
d'un element line'aire re'el, on pent e'videmmnent supposer que les
variables or et f3 solent imaginaires conjugue'es, ainsi que les,
facteurs p. et v. Supposons, par exemple, que l'on ait obtenu des,
fonctions aet u. ve'rifiant la premie~re equation (3); Si Fon change
i en - i, on voit que les imaginaires conjuguiees de a et de p.
donnent une solution de la seconde equation.
117. Supposons que Fe'6l'ment line'aire aiL e'Le mis de deux maniu~res diff~rentes sons la forme (4) et que l'on ait "a la fois
(5) dS2 =),2 da d,3=- ),12 dc' df31.
Nous allons montrer que cette equation ne peut avoir lieu que
si a', FP' dependent respectivement d'une seule des variables ox, ~3.
En effet, si l'on suppose cxJ, 3' exprime's en fonecLion des variables
verons
Si lFon ajoute les 6quations (6), apr~s les avoir multipli~es par f (,3), 11 (p3),
f2 ( P) respectivement, on aura
Si on les multiplie par f', fl', f2, on trouvera de m~me, en les ajoutant,
xf' ( P)+ —yf>'( )~ —z /2' ( 3)?f' I fj ~?2f2'
on, en tenant compte de la seconde 6quation (7),
(cj) xf'( P) — yf' ( ) ~z f '(f3
L'6quation (9) s'obtient en prenant la (lerivee de l'6quation (8) par rapport AI
La surface est donc lenveloppe du plan d6fini par l'6quation (8). Or, d'apr~s la
premiere des formules (v), ce plan est tangent an cercle de linfini.
Les seules surfaces pour lesquelles 1'616ment lin~aire soit un carr6 parfait sont
done les d~veloppables circonscrites au cercie de linfini. Les ar~tes de rebroussement de ces d6veloppables sont des courbes dont toutes les tangentes rencontrent
le cercie A linfini et qui satisfont Ai l'6quation
dX2 ~dy2 Z2 o.