Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHA\P. IlI.

y. et v etant des facteurs convenablement choisis; ca, s3 sont evidemment des fonctions de u et de v independantes l'une de l'autre
car leur determinant fonctionnel
- 2 [I'J i II
est different de zero. Si on les prend comme nouvelles variables,
]a multiplication des deux formules precedentes nous donnera,
pour l'element lineaire de la surface, l'expression
clds2 d- cl C
ou, en changeant les notations,
(4 ) ds )2= =)2 c dld.
compte de la seconde equation (3),
Ox O2 x Oy 02y' d Odzz
0i2 OO + O) 3 -' dj d ~ =
La comparaison des equations pr6cedentes nous montre que 'on aura leux solutions diffirentes des equations homogenes en i, v, w
Ox dy Oz
u -+- + v - - = 0o,
ot da ( dO x
Ox Oy Oz
si l'on prend, soit
d x y dz
It = v-, = -—, s,= -,
dy dx a
soit
d2 x _ y d' z
On doit done avoir
02x 2dy d2z
Oct 0ac2 - t2
Ox - Oy - z;
dxa dx dsx
d'oiu 'on deduit, en integrant,
Ox Oy dO
(5) Oa Oa T
f/(P) /A() " ~ /2()
Oa'
Si lon d6signe par T- la valeur commune de ces rapports, on aura
= / ( ) a'-5-, (, ),
y-=f(/ )~ '-,(),
z = 2 f() ' +? (,).
lcrivons que ces valeurs de w, y, z satisfont aux equations (2), nous trou