Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

DES SYSTEMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES.

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neaire en deux facteurs et ecrire
ds2 = (i/ dc r -+ dv V(/E dII -F -j d).
VE AE
Si nous egalons a zero successivement les deux facteurs, nous
aurons deux equations differentielles. Soient
p(i, V) =,, ( ) -=
les integrales de ces equations; elles definiront deux families de
lignes imaginaires tracees sur la surface et dont l'arc sera egal ia
zero. On aura, comme on sait,
I clx- E (\,/E du - — c- dv)
|d% = ~(jEdui F $ Hd),
~~(3) ' v VE /~c/
\, v/E d
que l'on ait
cds' ( mdu +- n d2 c).
Soit - le facteur qui rend
m du + znd
une diffdrentielle exacte.
On pourra poser
(T) ds2 = hA2d;
h sera une fonction de p et d'une seconde coordonn6e curviligne c permettant de
dr'ifair, avec 3, les differents points de la surface. Les coordonnees rectangulaires
x, y, z d'un point quelconque de la surface devront satisfaire aux deux dquations
'd (\ + ay)2 ( z)2
(2) (
J x O)x y dy dz dz
di dp + d d -~
En diff6rentiant la premiere par rapport a a et a j, on obtient
x d2Ox dy d2y Oz d2z
\ ) dX-2 dx 2 da- a2 -0c
(3) dc)x d -x dy d2y dz d2z_
a - _o 0.
d dd da dx o du d= o.

Si l'on diff6rentie la seconde des formules (2) par rapport a a, on aura, en tenant