Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

146

i46 ~~~~LIVIRE 11. - CHAP. Ill.

CHAPITRE III.
DES SYSThMES OI{THOGONAIJX ET ISOTHERMES.
Division de la surface en carr~s infiniment petits. - Syst~mes isothermes et coordonn~cs, sym6triques. - Cartes g~ographiques. - R~solution du probI~me pour
les surfaces de rdvolution et les surfaces du second degr6. - Syst~mes isothermes
dans le plan.
I145. Apre~s avoir donne' les propri't's les pu ipe e
systemes conjugues, nous allons conside'rer les sys~e~mes orihogonaux et particulie'rement les syste~mes 'a la fois orthogonaux el
isothermes. Nous rechereho-ns d'abord tous les syste~mes de coordonne'es orthogonales permettant de diviser la surface en carre's
infiniment petits.
Soit
dS2- A2 du2 -~- C~ dV2
l'expression de 1e'le'ment line'aire; A et C seront des fonctions
donne'es de u eL de c
Conside'rons (fig-. 6) quaire lignes coordonne'es de ehaque
famille:(A), (A4), (B), (B4), correspondantes aux valeurs
Ito, Ito -i — duo, it, it -+ — du
de u, el (C), (C4 ), (D), (Di), correspondantes aux valeurs
cO, e0~~-dc0, v, v -+-dv
de v. Elles determinent e'videmmnent quatre rectangles infiniment
petits (1), (2), (3), (4). Cherchons s'il esL possible de disposer die
du, dv, duo, dQ0,, de telle mnanie're que ces rectangles soient tons
des carre's. La consideiration de cbacun d'eux nous donnera les