Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. 1I.

I'equation du plan tangent; u, e, w seront determines par les trois
equations
C x -- y -- w z,.r. o --- W 0,
II a - ) — (V -- c0,
(aqui donnen-t)( —
(p-a)l-'"(p1-a)1-'
( - )l'-~(pl - b)l-,~
B(b-a)(b — c)
(? -- c)i —(p - c1-'
C(c - a)(c - b)
Si, en particulier, on a
nzT ---- 1 I,
on obtient des surfaces qui coincident avec leur polaire reciproque
par rapport a la surface du second degre
x2 y2 Z,2
- - *- - - -1.
A2(a- b)(a- c) B2(b —a)(b-c) C2-(c —a)(c-b)
Dans ce cas encore, l'equation differentielle des lignes asymptotiques se reduira a celle d'Euler (').
114. En terminant ce sujet, nous indiquerons, entre la theorie
des lignes asymptotiques et celle des equations lineaires aux dcrivees partielles, des rapprochements analogues a ceux qui font
l'objet des n~s 84 et 107. Une famille de lignes asymptotiques
pouvant etre considere comme un systeme qui est a lui-meme son
propre conjugue, le theoreme du n~ 107 nous donne immediatement le suivant
Si les coordonnees x, y, z, tt oi, u, vw, p, conside rees commne
des fonctions de a et de F, satisJfont a une equatioz linecaire de
la forme (i6) potur laquelle les cacracteristiques sont conz/on

(') On pourra consulter une Note sur les lignles asymptotiques de la surface
des ondes (Comptes rendus, t. XCVII, p. 0o39; i883) of l'on trouvera une
gneralisation de la methode qui est employee dans les derniers numeros de cc
Chapitre.