Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

142 LIYRE H. - CHAP. II.
112. Voici encore une autre application de la formule (2-5).
Conside'rons les surfaces pour lesquelles les coordonne'es carU6 -siennes x, y, -, sont de'finies en fonction de deux variables p
par les expressions suivanLes
(33) z~~~X A(, a),,, (pj, a)fl
Je dis d'abord ciue les courbes (p), (p,) tracent sur ces surfaces
un systeme conjugue. On ve'rifie en effet que les trois coordonne'es
satisfont 'a le'quation
(34) - ~~~~~02 0 0 0 00
(34) ('0 - 0 01) n - 0.
11 suit de la' que, si l'on cherche le'quation des lignes asymptotiques en appliquanL la formule (2-5), cette e'quaLion ne contiendra
pas de terme en dp dpl. En faisant le calcul, on obtient. en effeL
l' equation diff~rentielle
M (rn M- ) d,02 __ n(n - idp 2
(35) -
(a - p) b p)w c p) (a - FlI(b - pl) (c - l
qali s'in Legre dans tous les cas par des quadratures, inais dont Fint6grale esL alge'brique toutes les fois que le quotienL T' ( '7 - T)esL
n(n -)
le carre' d'un nomnbre commensurable.
Dans le cas particulier oi'i m est e'gal "a ni on peut e'linminer
p et trouver le'quation de la surface, qui est
(A~ (b )'-+ (c -a) (j(a - b) z (a - b) (b -c) (a -c).
On reconnait les surfaces te'Lrae'drales, do-nt Lamne a commence
I'etude dans son Examnen des diffc~irentes methodes ernployees
pour- rsoudr-e les probldines de Ge'orn2Jtrie, p ublie' en i8i8, et
clii, depuis, ont e'te l'objet des travaux de nomibreux geomntares,
parmii lesquels ii faut ciler plus particulie'remet Ali. de la Gournerie. L'e'quation (35) se re'duit alors 'a celle qui a e'te inte'gre'e par
Euler et qui donne F'addition des fonctions elliptiques. Parmi les
forrmes si nombreuses que l'onpent donner "a son integrate, nous