Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

40J LIVIRE LI. - CHAP. UI.
ce plan fixe, ont pour conjugue'es les courbes de contact des
cylindres circonscrits 'a la surface dont les ge~nerairices rectilignes
soul paralld'es aux di-verses droites de ce plan. Sil'on rapporte les
points de la surface "a ce syste"me COnjugue, I'equation des lignes
asymptotiques ne devra contenir que les carre's des diff~rentielles.
Prenons en effet [in syste~me de coordonne'es carte'siennes x, y,z
ei soient p, q les de'rive'es de z conside'ree comme fonction de x ci
dey. En. supposant que le plan fixe ait 6t' choisi pour plan des
yz, les variables qu'il faudra adopter seront les suivantes
(26) ~~~~X -C( q -3
Dc e'6quation
lz p dx - ~qdy,
on de'duit
dz- qy) =p dx -y dq p di --— y 4~
Par consequent, si Von pose
et si 1'on exprirne z' en fonction de occ et de Fe '~quation pre'
c~dente 110 [s donnera &-videmrnent
P ~~y~ - -
ou encore
pI et qT de'signant les de'rivees de.z' par rapport 'a oc et "a
L eiquation diff6ren tielle des lignes asyniptotiques
dp dx -~- dq dy — o
deviendra done, avec les variables or. ci ~3,
(29) dp' doc- dq' dS — o,
cl, si 1'on remplace p', q' par leurs expressions 7K dcc s d~3,
s' doc -t t' dP, en fonction des de'ri~vees secondes K, s', St' de z', elle
prendra la forme

( 3o)

(3o) r~~~~~~7' Clcc2-t d13 2 - o)