Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJUGUIES. - LIGNES ASYMPTOTIQUES..39)

et si l'on ordonne par rapport a dc, d3, on trouvera
dx dx d2x
da C dp do2
d y 0dy
-Y xd d% dx2
dz2
d)z dz d2
z ch( 'a
dt dt d2t
da OP dxa
(25) d d
dx Ox 02x OI x Ox dx
o x
dx d dx 003 a dP P2"
dy qdy C2y d y cy d y
- y 0a 0 a P' OP y 0 ( 2
4 —2 d B d z c ' - 32= o.
dz dz d2z dz dz 02
d d/3 dx dp oi 03 0d32
dt dt d t dt dt d2 t
t t
d% df dd /' d[ d/3 d/3
L'equation en coordonnees tangenlielles est toute semblable et
s'obtiendra en remplacant dans la precedente x, y, z, t par
u, v, wp.
Nous pourrions deduire de l'equation precedente la proposition
deja demontree (n~ 98) relativement aux systemes conjugues; car
la condition necessaire et suffisante pour que les deux families de
courbes (a), (P) soient conjuguees, c'est-a-dire pour que les
tangentes aux courbes coordonnees qui passent en chaque point
de la surface divisent harmoniquement l'angle former en ce point
par les tangentes asymptotiques, est evidemnient que le coefficient
de docdf soit nul dans l'equation differentielle (25). Nous retrouvons ainsi la condition d.eja donnee (n~ 97).
110. Reciproquement, toutes les fois que l'on connaitra sur une
surface un systeme conjugue, on pourra ecrire l'equation des
lignes asymptotiques sous une forme qui ne contiendra plus le
rectangle dc d3.
Ici se presente une nouvelle occasion d'appliquer la proposition
de M. Koenigs, car si l'on suppose que la droite D qui figure dans
l'enonce de cette proposition s'eloigne a l'infini parallelement a
un plan fixe, on reconnaitra que les sections planes, paralleles 'a