Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTAILES CONJLJGIJS. - LIGNES ASYM~PTOTIQ1JES. 137
devant admettre les solutions particulie'res x et y, on aura d'abord
D -_E =o;
si l'on expriine ensuite qu.'elle adrnet e'galement les deux solutions
Oz O-X2 ~y2 +Z2
on obtiendra les denx relations
ArA~-Bs iCt~o, A (i p2) Bp q-C (i -.q2)zz
ou p, q, rp, s, t de'signenL les de'rive'es de z, et quii determinent les
rapports de A, 13, C. LUe'quation cherceh'e est done
~s -I- q2) - tp d2 0
c t le'quation diffRrentielle de ses earacet'risticiues fournit le'quation
bien eonnne des lignes de eourbure.
109. La the'orie des lignes asymptotiques d'une surface se rattaehe par les liens les plus e'troits 'a eelle des syste~mes conjugues.
Si l'on groupe ees lignes en deux familles distinetes, comme on le,
fait pour les lignes de courbure, on peut dire que ehaeune des
deux farnilles ainsi obtenues est eonjugue'e "a elle-me"me. Par eonsiquent les lignes asyniptotiques se eonservent lorsqu'on soumet la
surface, soit "a une transformation homographique, soit "a uine transformation par polaires r~eciproques. Le ealeul suivant met d'ailleuirs
ees resultats en e6vid~ence.
Conservons toutes les notations du no 96. Soient toujours u, v,
Wr, p les eoordonne'es du plan tangent, x, y, z, t~ eelles du point
de contact. On a-Lra, nous l'a-vons vu, les e'gatite's
/ lX -4VY —Qy vz-i- Pt =o,
(22) ~ ~ <U dx c1 dy -i w z p-dt =o,
Ldu -iydv -v-z d t dp)-_o.