Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

i36 LIVRE II. - CHAP. II.
et les equations analogues en y et z. Si l'on exprime maintenant
d02x d2 y d2
que? en est une solution, et si l'on eimine —,-? -
- dp Apl dp, il dp dp~
au moyen des equations precedentes, on trouvera
d2 CDx d 02 C dy y d2yx d2 dz dz
* 02 dp dpl ' 0dxdydp d p W d 7p/ - *'* * 2 0z2 p Op
)xad l A dp l d0 dop/ IaZ2 do apl
C'est une relation a laquelle devront satisfaire, en chaque point.
de la surface, les tangentes aux deux families conjuguees.
108. Si I'on prend, par exemple, la valeur suivante de?
= x2 - y2- z2,
on aura
Ox 0x d y z dz dz
d, dp ' dp 0 p 0 dp 0 dp
le systeme conjugue est orthogonal, c'est-a-dire qu'il est forme
des deux systemes de lignes de courbure, ce qui nous conduit au
theoreme suivant
L'equation de la forme
02 0 2 0 02 0 0 do
A- -- B - C -- D E- -O
Oct2 0a 0d3 O~2 Oct d,3
dont les coefficients sont determnines par la condition qu'elle
admeette con7zme solutions particulieres
x, y, Z, x2 -_ y2 _- Z2
x, y, z de'signant les coordontees cartesiennes orthogonales
d'un point de la surface exprzmees en fonction de deux variables quelconques a et 3, adinet pour caracteristiques les deux
familles de lignes de courbure de la surface.
L'application suivante, qui est tres simple, fournit une verification de cette proposition. Prenons comme variables independantes deux des coordonnees x ety. L'equation
0290 d02 02 dO 00
A - B C + - C —D- tE =o,
Odx2 dOx oy dy2 Ox dy