Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJIJGUE~S. - LIGNES ASYMPTOTIQIJES. i35
exprime'es en fonction de deuLx variables a et ~3. Si lPon a obtenn,
parun rocd' quelconque, une 'quation de la forme (i6) 'a
laqcLielle satisfont ces quatre coordonne'es, on peut la ramener, par
le proce'de que nons avons indique, ai la forme (20) et l'on reconat alors imme'diatmet que les courbes (so), (,oj) tracent sur
la surface un systeme conjugue. Nous pouvons donc e'noncer la
proposition suivante
Quand on a fori7n& d'une maniedre quelconque, une e~quation
de laforme (i 6) a' laquelle satisfont, soit les quatr-e coordorndees
polnetuelles, soit les quatre coordonnees tan gentielles, les car-actelristiques de cette equation tr~acent Sur17 la sur7face un
systerne C07nugue.
Une iquation de la forme (i 6), contenant cinq coefficients, n'7esi.
pas determinne' par la condition d'admettre commne solutions particulie~res les quatre coordonne'es ponctuelles, par exemple. Mais,
Si l'on ajoute 'a cette condition celle d'admettre nue cinquimern
solution cp osss coefficiet srnparfaitenment determines,
ainsi que le systerne COnjugUe' forme' par scs caracte'ristiques. En
cc sens, on pent dire que, at chaque fonction Tp, correspond nn
Systeime conjugue particulier.
Ainsi, supposons que l'on prenne des coordonne'es carte'siennes
XI y, zz. L'eiquation (i6), devYant alors admettre la solution
0 -- t - I, ne con tiendra. pas le terrue en 0, et tons ses coefficients seront comple'tement determine's par la con~dition qu'elle
admette, en me'me temps que x, y, z, nue nouvelle solution
particnlhiere que nous supposerons exprimee en fonction
dex yz, par exemple. Ramenons le'quation 't la forme (20)
en prenant comme nouvelles variables les parame'tres p, p, du
systene conjugue fornme par ses caracueiristiques; et soit alors
A ~ + B
op 0p 0Fil
sa forme nouvelle. On aura
d2X dx d
a9=A- B