Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. II.

dct premier clegre admnettant chaccune ane intedgrale. Soient
P =?(a, ), pl= V(a, P)
les deutx integrales ainsiobtenues; il faudra prendre?, p pourl
nlouvelles variables si l'on veut ramene l'Vequatlion en 0a Ict
forlne
(20) - + a'- d b- c' 0 = o.
dp apl cp Cp1
On voit que la transformation serait impossible si le premier
membre de l'equation (I9) etait un carre parfait. Mais il resulte
des formules (17) que si l'on prend alors pour o l'integrale unique
de l'quation (19), l'equation en 0 se reduit a la forme simple (')
2 0 DO DO
(21) - -4-0 a' — b' -+ c' = o.
0,0i '. dpi
107. Apres avoir rappele ces definitions et ces proprietes, revenons aux questions que nous avons en vue, et supposons que
les quatre coordonnees homogenes x, y, z, t ou u, v, Cw, p soient
(1) On peut meme simplifier encore cette dquation des que l'on en connait des
solutions particulieres; car soient 09, 0, deux de ces solutions: si l'on prenl
comme nouvelles variables independantes p et le rapport
ct si 'on pose
la fonction 5 satisfera a une dquation de meme forme que l'6quation (21)
dI) ~- a b- 4 - c, C = o.
Mais, comme cette dquation doit admettre les solutions particulieres
5 =, 5 = Pp1
b, et c, seront nuls, et elle se r6duira a la forme bin6me
- 4- a - o0.
Op2 1 OP
Le raisonnement precedent montre d'ailleurs que cette forme n'est pas typique
et peut 6tre obtenue d'une infinit6 de manieres.