Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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132 ~~~LIVIRE It. - CHAP. 11.

q~ii repre'sentent, nous l'avons vui, les plans des lignes de premi ere
et de seconde courbure. Ainsi les lignes de courbure de c~haquie
systeme sont dans les plans tangents d'un. cylindre, et les cylindLres
correspondants aux deux. systeunes ont leurs ge'neratrices perpendiculaires.
D'aut~re part, les deux families de sphe~res conside'rees ati no 101
ont ici pour equations
(5) ) 2~y 2 X - 2)\ /I - a2 Z -1 — 2f (0) 0,
les centres de ces sphe~res sont situe's respeclivernent sur les deux
focates. D'ailleurs leurs rayons dependent des fonctions f(a.),
et) varient, par cons'quent, suivant nine loi quelconque. En
appliquant le the'ore~me du ino 101, on sera done conduit 'a la proposi Lion. suivante
Pour obtenir- toutes les sui faces a' lignes de courbure planes
clans les deux syste'mes, on cons trirat deux families difijlrentes
cle sphe~res dont les centres ser'ont assuj/ettis & ch~crir~e r-especlivemlent deutx courbes dut second degr&, focales l'une de
l'autrte, et don1t leS7rayons varieront suitant uine lol quelconque
pour chacune des deux families. Le plan r-adical de deux
spheres (S), (s), appar-tenant aux deux families di~ff-rentes,
envelopper-a la sur-face che7rchee. Si l'on associe a" (Y.) ct a' (S)
les sphe'7es infliniment voisines (1'), (S'), le centr-e r-adical de ces
quatr-e sphe~res ddcrir-a la surface; les plans r-adicaux de (S)
et de (SI'), de (X) ct de (s') ser~ont les plans des lignes de coatl —
barle des deiux syste~mes ()
Bien quie nos raisonnements aient laisse' de cote le cas des surfaces de'veloppables, les resultats obteniis comprennent ces sur faces
quL sontL, on le reconna'itra aise'ment, des surfaces moulures forme'es
par les tangentes -d'une he'lice tracee sur un. cylindre quelconque.
()On peut d~finir la variation du rayon des spheres do chacuno des families
en assuijettissant ces sph~res -h ~tre tan gentes h une courbe choisie arbitrairement,
situ6e dans le plan de la ligne qui contient leurs centres. Alors on pouirra construire g~om~triquemont le plan radical do chaque sph~rc et do la sph6ro infinimont voisine.