Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMAES CONJUIGUES. - LIGNES ASY1MPTOTIQ1UES. 13

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ei, par consequent, cette premiere classe ne coinprend que les surfaces moulures de'ja' e'udie'es (no 86).
Passons au cas general oui l'une des focales est une ellipse.
Comme on peut multiplier touLtes les fonctions Ai, Bi par u
M eme nomibre, on pourra prendre, pour cetle focale, les equations
et l'hyperbole correspondante sera alors represente'e par le systerme
LUn point de la premie~re courbe sera de'fini par les formules
ei, de Meme, un point de la seconde par les formutles analogues
(to) x B1 o, y =B2 ~, z -_B3~ v'\1 VI -j
La surface 'a lignes de courbure planes, correspondante 'a ces
valeurs des fonctions Ai, J3i, sera l'enveloppe du plan
(1 1) 2W - I 2_~
lorsque a ci ~ varieronL.
On trouvera de M eme, dans le cas oh' l'ellipse se re'diit 'a Une
parabole, que la surface correspondante est l'enveloppe dii plan
(12) 22 ax -- 2fPy -A-(It- 122- '2)Z -9f(a) -vI C~ij 3).
403i. Eu r~sume', notus obteno'ns trois classes de surfaces "a lignes
de coarbure planes dans les deux syste'mes. Mais il re'suLte clairement des raisonnements precedents quie la premie're et la troisimene
peuvenL Utre consid'r~e'es comme des cas limites de la seconde, qui
est de'finie par la formule (i i). Nous allons faire conn'aitre un
nouveau mode de g~ne'ration de ces surfaces.
Si lon diffhrentie successivemnent par rapport "a x et 'a Fe '&quiation. (i i), on obtient les deux equations
(i3)~~~~~~ 0
1I —_ a2
V/)2 I z
( i 4 ) _ _ _ _ _ _