Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEJMES CONJIJGUE~S. - LIGNES ASYM~PTOTIQUES. 12

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CHAPITRE II.
SYSTEMIES COiNJUG-UtS. - LIGNES ASYMPTOTIQTJES.
Application des propositions pr6c~dcntes A la determination des surfaces Ai lignes
de courbure planes dans les, deux syst6mes. - Caract~ristiques d'une 6quation
lin~aire aux d6riv6es partielles, - Th6or~me nouveau relatif aux sysL~mes conjugu6s. - Lignes asymptotiques. -Forme la plus simple cle leur 6quation diff~rentielle. -Leur ddterniination dans des cas particuliers. - Surfaces t6Lra6 -drales de Lam6.
102. Lja propositLion obtenue 'a la fin dii Chapitre precedent conduit 'atiune methode tres simple pour ia determination des surfaces
dont les lignes de courbure sont planes dans les deux syste'mes.
Ii suffira, en effet,7 de chercher, parnmi ies surfaces enveloppes du
plan represents par 1'equation (20), ceiles pour lesquelles les deux
famifles de courbes conjugue'es se coupent, 'a angle droit.
Conside'rons la surface enveloppe du plan
itX -~ vY -+ wZ&p T =o,
ois U, t', W, p sont des fonctions de a et de f3. La condition d'orthogonaiite' des courbes de paranehtre c.c et S3 trac~es sur i'enveloppe
est compiqcue'e en g6D~rai, et contient les de'rive'es sec-ondes des
coordonne'es tangentielies. Mlais cite se simplIfie beancoup quan~d
cl. et sont les parame'tres de deux families conjuguees. En effet
Six, y, 1~,~ t sont les coordonne'es du poin1t de contact et si l'on
faiLt -~ i,7 on a ies deux equations
aE~ -a a. O
a it aX ao ady a(S) dZ
d'oi'i Fon de'duit les proportions
aX dy az adw ae aiOt a(sT) ae ait