Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJUGUES. 125
En eliminant par une differentiation les fonctions f4 (a),... on
verra que iu,, w, p doivent satisfaire a la merme equation du
second ordre
- (QO<) + A )-:O.,
c est-a-dire
c)2 0 ()0 0k 00 0J.
(25) 003 x (03 0 0'
En considerant de mnme les courbes 3 - const., on trouverait
que les coordonnees tangentielles doivent aussi satisfaire a l'equation semblable
2O, 0 o)' 0)0 0C7
( 26) A' _- -4- J' -- --- 0 — o = O.
3x l7. Ox 03 O)dx
Or nous avons vu que u,, Wv, p ne peuvent satisfaire en,nmee temps a deux equations de la forme precedente, au moins
rant que la surface n'est pas developpable. I1 faudra done que les
equations (25), (26) soient identiques; ce qui donne les conditions
IJ log o d lo,' I pJl I c)l'
) '= ~~ - 7 ' = ~dr X \ ) ' 'X
En portant les valeurs de. et de yJ. dans la derniere equation,
nous trouvons
d2 log), 02 log),'
O4 (3 0x3'
d'o i l'on deddit, en integrant,
)/' = f()c?(P),
cc qui donne
0).f'(X)
t- +X - (J'X
Si nous portons cette valeur de u. dans l'equaation (25), elle prend
la forme
02
03 [ <( ) 0 ]-o.
On voit que, si nous multiplions les quatre coordonnees u, V,
w, p par une mnme fonction Xf( a), ce qui est evidemment permis,