Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. I.

Or on reconnait sans difficulte que cette surface jolit de la propriete indiquee; car, pour avoir l'enveloppe du plan tangent, il:faut joindre a l'equation (20) les deux suivantes
(21) J fl ( -)X +- f ()y-+!, Z ( f,(t = 0,
^( B( ) - 'o,_( ) -' ' ' ( )Z - y, ( 3)t o0,
qui ne contiennent chacune qu'une seule des variables a., 3 et
montrent ainsi que les deux families conjuguees c= const.,
3 const. sont composees de courbes planes.
La solution clue nous venons d'obtenir est tres generale; on pent
demontrer qu'il n'y en a pas. d'autre. Pour cela, nous definirons
la surface cherchee comme enveloppe du plan
(22) uX -r- Y -- wZ — p T = o.
Prenons la derivee de cette equation par rapport a a, nous
aurons
Ou de Ou',)f_
(23) T Y - Z -- T = o.
Ces deux equations representent, on l'a vu, la tangente a la
courbe a=c const., toutes les fois que les deux families (ac), (3)
sont conjug ues.
Or, si les courbes de parametre a sont planes, elles seront determinees par une equation de la forme
(2 4) X/i() -- Y/2(a) +t Zf3(a) -- Tf4(a) = o,
et, par consequent, les trois plans definis par les equations (22),
(23), (24) contiendront une memne droite, la tangente a la couibe
a = const.; l'une de ces trois equations devra done etre une combinaison lindaire des deux autres. Ecrivons que la troisieme
s'obtient en ajoutant les deux autres, respectivement multipliees
par u. et par )j nous aurons le systeme
fi2() =*' + x,
f(a) = t[. + -)\,
Ox
f3(a)= [ tw +)x_,