Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTbEMS CONJUGUIJS. -

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equat~ions line'aires de la forme (ia). L'd'imination de entre
ces deux equations nous conduira "a une equation du premier
ordre
00 00
A' -~4- B' -+- G'O -
'a laquelle devront encore satisfaire ces coordonne'es. Or la solution generaie de cette equation est de la forme
0 00 F(a0),
F de'signanL une fon ction arbitraire et %,, a-, des fonctions determine'es; par consequent, si l'on divise toutes les coordonne'es hornogenes par 0o,, on les re'duira "a des fonctions de la seule variable a>,
Si les coordonne'es, sont ponctuelles, le point de'criL une couirbe,
et si eiies sont tangentielles, le plan enveloppe une de'veloppable.
Ainsi, I t oute surface non de'veloppable, et 'a tout syste~me conjigue tra6srcte surface, correspondent deux e'quations, et
deux seulement, de la forme (i9). LUtne est ve'rifie'e par les coordonne'es d'un point quelconque de la surface, et l'autre par les
coordonne'es d'un plan tangent cuelconque de la surface.
100. Le the'orerne precedent permet e'videmment de construire
une infiniie6 de surfaces sur lesquelles on connaitLra des syste~mes
conjugue's (1 ). Nous allons, des 'a present, en faire une application
en cherchant les surfaces pour lesquielles il existe deux families
conjugue'es forme'es excIlisivement de courbes planes.
Si les coordonne'es tangentielles satisfont "a l'quation
02 0
0dc af I
la surface correspondante Ia plus generale sera l'enveloppe du plan
de'fini par le'quation

(') DARBOUX, Mermoire sur la tM607oie des Coorclonne'es CU7rVilig7nes et des systemes 07rthogonaux (A7nnales cle 1'EIcole Nlorinale., 2e s6rie, t. VII, P. 293; i878).