Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEM ES CONJUGUE S.

1'I

z, t et l'limination de ces coordonnees conduit ia l'equation
ali Olt 02 U
i( - - (C a3 -Ox 03 0 03
dx dD dx d0
Op) Op a2 p
(I7), 1 ~ -o,
P 0d rO
qui ne contient plus que les coordonnees tangentielles ( ).
Inversement, loutes les fois clue l'equaLion (i7) sera satisfaite,
il existera des valeurs de x, ', z, t verifiant les equations (I2) et
la troisieme des equations (i6); ces equations expriment que x,
y, z, t sont les coordonnees du point de contact du plan defini par
I'equation (io) avec la surface qu'il enveloppe et, en outre, que les
(teux families (a), (P) tracees sur cette enveloppe sont conjuguees.
L'6quation ( 7) est done, dans tous les cas, caracteristique des
systemes conjuguis.
De meme, en eliminant ii,, vw, p entre la premiere des equations (I2), les deux equations (i3) et la seconde equation (16),
on trouvera la condition a laquelle doivent satisfaire les coordonnees
ponctuelles
().r C) ( ).r
0 ~ 03:O0
)Y Oy 02 1'
(iS)Oz Oz. 0 =0,
dOx d3 Otx3)
Ot at o t
t
et l'on demontrera comme precedemment que cette condition, qui
est necessaire, est aussi suGfisante.

(1) BRtIscIil, Sulle linee di curvatura della supeficie delle onde (Annales de
Tortolini, t. II, p. i35; i859).