Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJIJGUES. Ji9
fonctions des parame~tres a et f3. et l'on obtiendrait I'equation en
coordonne'es ponctuelles de la surface (S) en e'Iiminant oc et
entre e'quation (i o) et ses deux d erive'es
Olt Oc Ow O p o
X - -+Y —Z- -i —T 0
par rapport 'a c et 'L ~ Par conseciuent, si F'on de'signe par x, y,
~,t les coordonne'es du point de contact du plan tangent, elies
devront, satisfaire aux trois equations
P7A- (Z -pt 0O
(12) ~~~~0% 0i 0% 0
du Ot O Ow Op
X-~j-~~y-~ -— Z - -t -0.
X y -T~3 ~
Diffrentions la premiere de ces equations, successivement par
rapport 'a o, et "a~ on aura, en tenaint compte des deux autres, ]es
relations nouvelles
(i3)~~~~~~~,
On aurait LPu d'ailleurs e'crire immn'diaternent ces equations;
elies expriment que les tangentes aux- deux courbes (x- consL.,
i const. sont dans le plan tangent 'a la surface.
Les equations (i12) et (i 3) s'appliquent 'a tont syste'me de coordonne'es cuLrvilignes. Cherchons maintenant la condition pour que,
les deux families (a~) et (~3) forment un syste~me conjugue. Si l'on
se de'place sur la courbe c = const., le plan tangent enveloppera,
Line surface di'veloppable; son intersection avec, le plan tangent
infiniment, voisin sera de'finie par 1'e'quation (i o) jointe "a la seconde
des Equations (i i). Il faut exprimer que la droi-te repre'sente'e par
ces deux equations est la tangente 'a la courbe ~3 const. Pour
cela, 7i fand-ra e6crire que ces equations sont ve'rifie'es quand on y