Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

ii8 LIVRE II. -,CHAP. I.
formation homogaraphique, soit a, une transomain a
polaires r'ciproques.
Supposons d'abord que 1'on soumette une surface (S) "a une
transformation homographique. Con side'rons une courbe (C)
trace'e sur (S). Les plans tangents "a la surface en tons les points
de ceLte courbe engendreront une surface de'veloppable (A) dont
les ge'neraLrices rectihon~es seront les conjuguees des tangentes 'a
la courbe (C). Or ii est evident que la transformation hon-ographique ne change en rien toutes ces relations. A la surface (S)
correspond une surface ( S'), 'a la courbe ( C) une courbe (C'), 'a
la de'veloppable (A) une de'veloppable (A') circonscrite 'a (S') snivant la courbe (C'), aux tangentes de la courbe (C) celles de la
courbe (C'), aux ge'neratrices de (A) celles de (A'); par conseqnent
la transformation homographique fait bien correspondre 'a deux
tano~entes conjugui'es de (5) deux tangentes conjugue'es de (S').
Si, an con traire, on effectue une transformation par polaires re'ciproques, 'a la surface (S) correspond une surface (S"), "a la
courbe (C) une de'veloppable (A") circonscrite 'a (5"), et 'a la de'veloppable (A) la cour-be de contact (C") de la de'veloppable (A").
Par suite, aux tangentes de la courbe (C) correspondent les ge'neratrices rectilignes de (A") et aux ge'neratrices de (A) les tangentes
de la courbe (C"). D'ailleurs, ai deux Langentes en un point M de
(5), correspondent deux tangentes an point correspondant Mr de
(S"). Ici encore, on le voit, "a deux droites conjugue'es correspondent deux droites conjugue'es.
96. Les proprie'Les precedentes, que l'on exprirne encore en
disant que la definition des syste~mes conjugues est projective et
dualistique, peuvent aussi e'tre e'tablies par la me'thode -analytique
suivante quii nous permettra. de ge'neraliser une proposition de'jai
donne'e (no 84).
Soient oc, et ~3 les pararn'tres de deux families de courbes trace'es
sur une surface (S). Adoptons Lin syste'me de coordonne'es homogenes on tLetrae'driques absolument quelconque, et soit
(io) uX -ivY -+- wZ +P T ==o

l'6quation du plan tangent "a la surface; u, v, a', p seront des