Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJUGUES.

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Les surfaces cherchees, qui ont d'abord ete etudiees par
Joachimsthal (t), admettent done la generation suivante: Dans
un plan passant par la droite D, on forme, d'apres le moyen
que nous venons d'indiquer, la famille de courbesplanes (t)
la plus generale admettantpour trajectoir7es orthogonales une
faimille de cercles ayant leurs centres sur la droite D. On fait
tourner ces courbes (t), autour de la droite D, d'un angle qui
varie d'apres une loi donnee, nais quelconque, quand on passe
cl'une courbe c l'autre; le lieu de toutes le7urs positions nouvelles
est la surface che7rchee.
Prenons pour axe des x la droite D. Les formules qui sont la
traduction analytique de la generation precedente sont les suivantes. Soit
(x - a) — y2 = r2
l'equation du systeeme de cercles. Prenons
0 00
a= F(Oo), r- F'(0o) sin00, tang- = Fl() tang -
2 2
Les coordonnees d'un point quelconque de la surface cherchee
seront
x =a -- r cos0,
(8),y =r sin0 coss,
z = r sin 0 sin,'.
Ces formules sont identiques a celles que l'on doit a Joachimsthal.
95. Apres avoir developpe une application de la proposition de
M. Kcenigs, revenons aux systemes conjugues quelconques. Ces
systemes possedent deux proprietes essentielles sur lesquelles il
convient que nous insistions, et que 1'on peut enoncer comme il
suit: Tout systeme conjug'ue ne cesse pas d'etre conjugue' si
I'on sonumet la sur7face sur laquelle il est t7race, soil a une trans

(1) JOACHIIMSTHAL, Demonstrationes theorematum ad superficies curvas spectantium (Journal de Crelle, t. XXX, p. 347) et Sur les surfaces dont les lignes
de I'une des courbures sont planes (m6me Journal, t. LIV, p. 18I). Voir surtout
ce dernier article.