Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTEMES CONJUGUES.15

1.15

Ii y- a ne'anmoins un cas particulier tres 6tLendti dans lequel la
determiuation du syste'me orthogonal n'exigera plus aucune quadrature. C'est celui oius lon saurait a priori que, parmi les trajectoires orthogonales de la famille de cercies, doit se trouver
une ligne droite on. un cercie (a'); car alors tous les cercles
cherche's 6'tant doublement normaux 'a la ligne droite on ati cercie
(Ycette trajectoire orthogonale particulie~re devra etre compt~ee
pour deux et donnera detix solutions de e'~quation de Riccati. Ii
suffira donc de se donner (y) eL une autre trajectoire orthogonale
(C) pour avoir trois solutions de e'6quation diff~rentielle.
Signalons encore cette consequence des raisonnemenis qui pre'ccadent:lorsqu'on aura un sy-st'me determine' de cercles coupanL
families de cercies sont les mdmes; et, par consequent, la connaissance des trajectoires orthogonales de lune des families entraine celie des trajectoires orthogonales de l'autre familie. Nous dirons, avec M. Bouquet, que deux families
de cercies sont similair'es lorsqu.'elies satisfont aux relations (i). Ii est ais6
d'interpr~ter g~om~triquement ees relations. Elies expriment, en effet, que les
centres des cercles, qui se correspondent dans les deux families similaires, decrivent des courbes dont les tangentes sont, Ai chaque instant, parall6les; et de
plus, que les rayons des deux cercles sont dans le m~me rapport que les arcs in-.
finiment petits parcourus par leurs centres dans ie m~me temps, c'est-~-dire dans
ie m~me rapport que les rayons de courbure des deux courbes d~crites par
leurs centres, aux points correspondants. Cette proposition permet 6videmment
de construire, sans aucune inzte'gration, toutes les families simiiaires d'une familie
de cercies donn~e.
D'apr~s cela, soit une famille quelconque de cercles, correspondant aux valeurs a,, b,, r, de a, b, r. On peut toujours concevoir qu'ii existe trois fonctions
a,, b,, r"2 teiles que 1Fon ait
da,- da, db _ db, a2~b 2
'1 2 P 7'2 2 2 2
Par suite, toute familie de cercies pent 6tre consider6e comme similaire d'une
familie repr~sent~e par 1l6quation
(x- a2)2 _(y- b,)2= a2- + b2
pour laquelie tons les cercles passent par un point fixe, i'origine. Comme on
peut mettre en 6viclence, sans signe, de quadrature, les trajectoires orthogonales
de cette famille particuli~re, ii en sera de m~nme, d'apr~s les propositions prc&&
dentes, pour la famille la pins g6n6rale.
Au reste, dans beaucoup de questions, ii importe pen qu'iI y ait ou qu'il n'y
ait pas de signte de quadrature. Lessentiel est qu.on puisse obtenir, sous forme
explicite, 1'6quation dn s~rst~me orthogonal, et les d6veioppements donn6s dans le
texte 6tablissent que cela sera toujours possible.