Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE II. - CHAP. 1.

on obtient pour 0 e'~quatioD
dO i da AcbcoO
U) ~~~~~ur c/u -r cu
q"Il faudra int'grer. Or, si l'on prend comme inconnue
(5) ~~~~~~tang —=I,
on est ramen' "a Line equation de Riccati
(6) c/ 2l i c/bl
De lat resultent plusieurs consequences. Si l'on connait tine
trajectoire seutlernent d'un systebme de cercles, on deterrninera
toutes les autres par detix quadratures; si l'on en connait deux, il
suffira d'une seule quadrature; et enfin la connaissanee des trois
trajectoires orthogonales permettra de de'terminer toutes les autres,
sans aucune integration.
Supposons, d'aprebs cela, que l'on veuille determniner le systebme
orthogonal le pins general dontune famille soit forrniee de cercies.
On pourra se donner arbitrairemeint deux des trajectoires orthogonales (C), (C4). 11 existe en effet une famille de cereles coupant
deux courbes quelconques 'a angle droit, et leturs centres se tronvent
srla courbe (L) lieuL des points d'oi' lPon pent mener 'a (C),
(C1) des tangentes e'gales. Comme on connait deux trajeetoires
orthogonales, ii suffira d'une quadrattire pour obtenir toutes les
autres. On pourra done obtenir, aveuesule quadrature, leYquation du systbrne orthogonal plan le plus general comprenant
tine fanilile de cercies ()
()Dans sa thdse si remarquable, Etude gebondrique des surfaces donIt les
lignes cde COUrbUre cl'U7 SYStM~e s07it planzes; Toulouse, 1882, AL V. Rouquet a
m~me montr6 que ion pent obtenir, sans aucun signe de quadrature, 1'6quation
de ee systbme orthogonal. Consid~rons, en effet, deux families de cereles, correspondant respeetivement aux svstbrnes de valeurs a,, b,, r, et a,' b",, e a
riables a, b, r'. Si Pon a, pour chaque valeur de u,
() ~~~~~da, dca, db, Ad
Ir 7i Ir r2
les 6quations de Riceati qui d6terminent les trajeetoires orthogonales de ces deux