Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SYSTIEES CONJUGUES. I13
au centre de la sphere (S) et elles engendreront un c6ne, circonscrit suivant la courbe spherique MM'IM"..., a la surface
formee par les trajectoires (t), (t'), (t"),.... Les deux sysLtmes
de lignes conjuguees definies par le theoreme de M. Kcnigs se
couperont ici a angle droit et seront, par consequent, les deux
svstemes de lignes de courbure.
De la resulte une methode tres simple pour engendrer les surfaces cherchees. Considerons une famille quelconque de spheres
ayantleur centre sur la droiteD, et proposons-nous de determiner
leurs trajectoires orthogonales. Soit (t) une de ces trajectoires; si
on la fait tourner autour de D, de maniere a ramener son plan
dans un plan fixe, elle ne cessera pas d'etre trajectoire orthogonale. Nous sommes donc ramenes a un probleme de Geoometrie
plane: T'/ouver les trajectoires orthog-onales d'une famille de
cercles ayant leurs centres en lione droite. Voici comment on
peut le resoudre.
93. Considerons d'une maniere generale une famille de cercles,
dcfinie par l'equation
() (x - a)2 -- Y(y-b )2 = 7r
ou a, b, r sont des fonctions d'un parametre it. Les trajectoires
orthogonales satisferont a I'equation
()x - a y -
et, pour former leur equation diffTrentielle, il faudrait eliminer u
entre les equations (i) et (2). Cette elimination est impossible en
general; il vaut mieux employer la methode suivante.
Exprimons x, y en fonction de u et d'une nouvelle variable 9
par les formules
(3) x = a 4- rcos, y=b r sin0.
La signification de 0 est evidente: F est l'angle que fait, avec
l'axe des x, le rayon du cercle qui passe au point ou ce cercle
est coupe par la trajectoire orthogonale. Des formules (3) on tire
les valeurs de dx et de dy, et, en les portant dans l'equation (2),

D. - 1.

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